前言
游戏文章中要用到很多的数学公式，学习Latex的数学表达式，非常有必要，这里简单记录一下常用的游戏开发中用到的数学公式，在将来的文章中来当速查手册。
函数
基础成员
a、角度使用($a,b,\theta,\lambda$)
b、向量使用$\mathbf(x,y,z)$
c、矩阵使用$\mathbf(R,S,T,M)$
普通函数
2元一次方程
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)
求值
\(x =\frac{a \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
求和
\(\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{(n^2 + n)(2n+1)}{6}\)
向量
\(v_1 = [x_1, y_1, z_1]\) \(v_2 = [x_2, y_2, z_2]\)
向量加法
\(v_1 + v_2 = [x_1 + x_2,y_1 + y_2,z_1+z_2]\)
向量点积
\(v_1.v_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)
\(v_1.v_2 = |v_1||v_2|\cos(\theta)\)
向量夹角
\[\theta = \cos^{-1}\frac{v_1v_2}{|v_1||v_2|}\]向量模叉乘
\(|v_1\times v_2| = |v_1||v_2|\sin(\theta)\)
矩阵
移动
\(p'=T(v_x, v_y, v_z) . p = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1 \end{bmatrix}\)
缩放
\(p'=S(s_x, s_y, s_z).p= \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} s_xp_x \\ s_yp_y \\ s_zp_z \\ 1 \end{bmatrix}\)
旋转
绕$X$轴旋转
\(p' = R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0\\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x\\ p_y\\ p_z\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} p_x\\ \cos(\theta)p_y -\sin(\theta)p_z\\ \sin(\theta)p_y + \cos(\theta)p_z\\ 0 \end{bmatrix}\)
绕$Y$轴旋转
\(p' = R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x\\ p_y\\ p_z\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos(\theta)p_x + \sin(\theta)p_z\\ p_y\\ -\sin(\theta)p_x + \cos(\theta)p_z\\ 0 \end{bmatrix}\)
绕$Z$轴旋转
\(p' = R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 & 0\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x\\ p_y\\ p_z\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos(\theta)p_x - \sin(\theta)p_y\\ \sin(\theta)p_x + \cos(\theta)p_y\\ p_z \\ 0 \end{bmatrix}\)