浮点数简介
32位浮点数都按照 IEEE 规则定义：
- 首位是符号位，零为正，一为负
- 8位指数位，真实指数加127为存储位
- 23位小数位
浮点数表示为$m \times b^e$，$m$ 称作为有效位，或尾数。$b$ 是基数，$e$ 是指数。
浮点数范围
32位浮点数指数位为8位，由于 0 和 11111111 指数位有特殊作用，所以只有 [1,254] 范围可以用。因此 $m \times b^e$中，$b$ 为 $2$，$e\in[-126,127]$。$m\in[1, 2-{2^{-23}}]$。所以最大值为：
$max = ({2-{2^{-23}}})\times{2^{127}}$
$min = -({2-{2^{-23}}})\times{2^{127}}$
浮点数精度
浮点数的小数位是归一化的，归一化的意思是小数位只存储自小数点后面的数。32位浮点数的最小精度为 $2^{-23} = 1.192\times{10^{-7}}$。七位有效数字，但随着整数位的增大，小数位的精度下降。比如整数位变为 $2^{23}=8388068$ 则小数位的精度变为 $1$，这时如果在做浮点数和小数的加法，则小数直接被忽略。
浮点数近似值
Intel 8086 处理器被设计用来处理整数运算。这对于使用浮点运算的图形和运算密集型软件是个问题。通过软件模拟浮点运算是可行的，但性能损失很严重。类似于软件AutoCad需要更加强有力的方式来进行浮点数学运算。Intel推出了单独浮点协处理芯片8087，并且随着每代处理器一起升级。直到Intel 486的发布，浮点硬件集成到了主CPU被称作FPU。
浮点数在寄存器里使用IEEE 10-byte 扩展实数格式。当FPU将运算结果放入到内存操作数时，它将结果转换为其中一种格式：整数，长整数，单精度浮点数，双精度浮点数，或者BCD。
浮点目标操作数有效位是有限的，当浮点计算有效位结果长度大于目标操作数有效位长度时，FPU 有以下四种逼近方式：
- 向最近的偶数舍入：舍入结果最接近无限精确结果。如果两个值非常接近，最终结果以偶数为准（最后一位为零）
- 向下舍入方向 -∞：舍入结果小于或等于无限精确结果
- 向上舍入方向 +∞：舍入结果大于或等于无限精确结果
- 向零舍入（将要舍去的位截断）：舍入结果的绝对值小于或等于无限精确结果
FPU控制字包含两位称作RC 字段来标识那种舍入方法。字段值说明如下：
- 00 二进制：向最近的偶数舍入（默认）
- 01 二进制：向-∞方向舍入
- 10 二进制：向+∞方向舍入
- 11 二进制：向零舍入（截断）
向最近的偶数舍入是默认的舍入方法，此方法被认为是最精确以及被大多数程序实现的方式。
游戏中的浮点问题
游戏中要实现录像，或者网络同步功能，需要在不同的平台运行结果完全一致。如果所有平台使用相同的语言，以及相同的编译器，那浮点运算结果应给一致。但实际上每个平台都有自己的编译器，在每个平台上的CPU的浮点单元运算结果向CPU内存值转换时，存在取舍。IEEE 浮点规则只保证了浮点数的定义，但并有说明转换时的取舍问题。这导致不同平台之间浮点运算结果的差异。总结下来造成相同的代码，执行结果不一致的原因如下：
- 编译结果，不同平台编译结果如果不一致，不能保证运算结果一致，比如:
a + b + c和a + (b + c)的结果不一定一致 - 硬件平台，不同厂商的FPU运算寄存器长度不一致，这导致运算精度不可控
- 取舍问题，IEEE没有定义浮点取舍的标准，所以每家语言，平台都有自己的实现接口，这里不能保证统一
游戏开发中为了完成所有平台运算结果一致的问题，使用定点数代替浮点数来保证运算结果一致。
浮点数转换为字符串
游戏中经常需要显示浮点值，显示的内容为字符串。使用有效位123456 和1.组合出一个值 1.123456，然后再加上 $10^n$，最后结果为$1.123456\times 10^5$。如果指数位为零，直接使用结果$1.123456$。
参考
Demystifying Floating Point Precision
how-to-round-binary-fractions